Considérez un nombre réel r. Que d`autres modèles de fraction continue dans les fractions formées à partir des nombres de Fibonacci (et les nombres de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,. Hardy qui était à cette époque un mathématicien mondialement connu. Nous allons prendre √ 14 et voir comment nous trouvons la fraction continue [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6,. Chaque nombre rationnel p {displaystyle p}/q {displaystyle q} a deux expressions étroitement liées comme une fraction continue finie, dont les coefficients ai peuvent être déterminés en appliquant l`algorithme euclidien à (p, q) {displaystyle (p, q)}. En utilisant la méthode ci-dessus, quelle est la formule générale pour √ n comme une fraction continue sans réduire les numérateurs à 1? Si le numéro de départ est rationnel, alors ce processus est exactement parallèle à l`algorithme euclidien. Notez que la valeur décimale observée dans la dernière étape correspond à la valeur décimale que nous avons vue dans la première étape. FS sont non nuls: Voir le livre de Davenport dans la section références au pied de cette page. Justin Miller (Université de l`Arizona) a une liste de plusieurs modèles dans le tableau (voir références). Il viendra alors comme aucune surprise que beaucoup de caractéristiques des fractions continues sont exprimées en termes récursifs. Puis il s`est levé sur lui que «ils doivent être vrais parce que, s`ils n`étaient pas vrais, personne n`aurait eu l`imagination pour les inventer. Christian Huygens (1629-1695) a utilisé des fractions continues lors de la construction de son Orrery.

Les convergents à nombre pair sont plus petits que le numéro d`origine, alors que les numéros impairs sont plus grands. Par exemple, supposons que nous voulions nous effondrer de cette manière la fraction continue simple finie $ [3; 2, 5, 4, 2] $. Pour cette utilisation du terme, voir l`approximation de Padé et les fonctions rationnelles de Chebyshev. La troisième convergence, par conséquent, est 333/106. Enfin, la partie fractionnaire, 1/7, est l`inverse de 7, donc son approximation dans ce schéma, 7, est exacte (7/1 = 7 + 0/1) et produit l`expression exacte 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 pour 415/93. Toutes les fractions ci-dessus sont périodiques dans le sens que nous appliquons aux fractions décimales. Si la valeur est rationnelle, nous pourrions bien sûr l`exprimer comme une fraction. Ce rationnel sera le meilleur dans le sens où aucun autre rationnel dans (x, y) aura un plus petit numérateur ou un plus petit dénominateur. Puisque tous et seulement les expressions mathématiques qui impliquent des racines carrées ont une fraction continue périodique, nous pouvons repérer ceux quand ils se produisent en tant que valeurs de trig. La terminologie acceptée est la fraction continue. Pour terminer par des notations, si a0 est un entier, le plus souvent il est séparé du reste des coefficients par un point-virgule: r = [a0; a1, a2, a3,.

La fraction résultante sera la forme la plus simple possible. La fraction continue ci-dessus de pi composée de cubes utilise la série Nilakantha et un exploit de Leonhard Euler. Les représentations continues de fraction de 3. La fraction continue est extrêmement importante dans la théorie de l`approximation rationnelle. Supposons que les quotients trouvés soient, comme ci-dessus, [3; 7, 15, 1]. Il était habitué à recevoir des lettres de manivelles. Nous pouvons interpréter les convergents comme les meilleures approximations géométriquement si nous imaginons la grille comme une planche pleine de broches mis à chaque point de grille. Lorsque nous multiplions GCD (a, b) par LCM (a, b), nous utilisons chaque puissance principale dans a et b.

Tandis que pratiquement tous les nombres réels k finiront par avoir infiniment beaucoup de convergents m/n dont la distance de k est significativement plus petite que cette limite, les convergents pour φ (i. La même chose est vraie pour k > 1: tous les RK sont irrationnelles et RK > 1. Euler a montré que le CSA [a1; a2,. Cela peut être représenté par la notation abrégée 415/93 = [4; 2, 6, 7]. La surprise en magasin est ce qui se passe si nous exprimons ce nombre comme une fraction continue. Chacun de ces, par construction, doit être une fraction appropriée (i. Avec tous les bi = 1, nous avons des fractions continues simples. Le (m + 1) {displaystyle (m + 1)}-St semiconvergent est égal au médiant du m {displaystyle m}-Th et de la convergence h n k n {displaystyle {tfrac {H_ {n}} {K_ {n}}}}. Comme nous le voyons, l`association entre les nombres réels et les fractions continues est définie de manière récursive.